Question

să se studieze injectivitatea funcției

f:N→N
f(n)=2n+(-1)^n​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

trebuie sa verificam daca pt m ≠ n avem si f(m) ≠ f(n), oricare ar fi m si n din N.

Deci pornim cu m ≠ n, naturale si m > n.

f(m) - f(n) = 2m + (-1)^m - 2n - (-1)^n =

2(m-n) + (-1)^m - (-1)^n

2(m-n) ≥ 2, pt ca m > n, deci si m-n > 0, deci m-n ≥ 1.

Sa vedem ce valori poate lua expresia (-1)^m - (-1)^n :

* pt m si n pare SAU m si n impare avem :

1-1 SAU respectiv -1-(-1) = -1+1, deci = 0 in ambele cazuri si astfel avem

f(m) - f(n) ≥ 2+0 = 2 ≠ 0, deci f(m) ≠ f(n), deci injectivitate pt f pana aici.

 Mergem mai departe:

* pt m par si n impar avem 1 - (-1) = 1+1= 2 si deci f(m) - f(n) ≥ 2 + 2 = 4 ≠ 0, deci injectivitatea se verifica pana acum.

* pt m impar si n par avem -1 - 1 = -2 si deci f(m) - f(n) ≥ 2 + (-2) = 0, deci NU ESTE INJECTICA peste tot, pe tot N, pentru ca avem pt valorile

1 ≠ 0, f(1) -f(0) = 2 - 1 - 0 - 1 = 0, deci f(1) = f(0).

 Concluzii:

f(n) nu este injectiva pe tot N dar este injectiva pe N*.