Question

Sa se studieze injectivitatea funcției.
f:R->R, f(x)=x^3+x+1

Am nevoie repede.
dau coronița!!

Answer 1

Răspuns:

2   functii   sunt  injective  daca   din  f(x1)=f(x2)=>x1=x2

Fie    x1,   x2  astfel  incat f(x1)=f(x2)

x1³+x1+1=x2³+x2+1

x1³+x1=x2³+x2

x1³-x³+x1-x2=0

(x1-x2)(x1²+x1*x2+x²)+(x1-x2)=0

(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²+1)=0

x1-x2=0=>x1=x2

Verificam   si   a   2-a     paranteza daca  da   0

Calculam  mai  intai

x1²+x2²+x1*x2=(2x1²+2x1*x2+x2²)/2=(x1²+2x1x2+x2²+x1²+x2²)/2=

[(x1+x2)²+x1²+x2²]/2>0deoarece   la   numarator   avem  o   suma   de   patrate=>

Dar  x1²+x1x2+x2²+1>[(x1+x2)²+x1²+x2²]/2>0

Deci  paranteza   2-a  e   strict  pozitiva, nu  poate   fi   0=>

Singura   solutie   a   ecuatiei   f(x1)=f(x2)   este   x1=x2=>f  injecctiva

Explicație pas cu pas: