Question

Sa se studieze injectivitatea functiei f(x)=x^4-8x+1 cu f:R->R.

Answer 1

Simplu :
 
"se observa " ca f(0)=0-0+1=1
si 
f(2) =16-16+1=1
Deci eista 0 si 2 asa fel incat
0≠2, f(0)=f(2) DEci Functia NU este injectiva

 Detaliat:
Vom studia tabloul de variatie a functiei cu ajutorul primei derivate

f'(x) =4x³-8= 4(x³-2)= 4(x-∛2)(x²+∛2 *x+∛4) care se anuleaza in x=∛2
 va fi negativa pt x<∛2 si pozitiva pt x>∛2
altfel
 x³ crescatoare, x³-2, crescatoare
la -∞ x³-2 tinde la -∞
 iar la ∞  tinde la ∞
 va lua valoarea 0 o singura data, ptx³=2, adica x=∛2

deci functia va fi descrescatoare pe (-∞, ∛2) , va prezenta un minim absolut in x=∛2 si anume f(∛2)=1-6∛2  si crescatoare pt x>∛2
deci vor exista valori distincte ale lui x, sa zicem x1≠x2, pt care f(x1) =f(x2) deci functia NU este injectiva