Question

Sa se studieze injectivitatea , surjectivitatea si bijectivitatea functiei :
g:R->R , g(x)= x , x<=1
ax+b , x aparttine intervalului (1 ,3)
2x+4 , x>=3

Answer 1

Consideram trei functii 

[tex] g_{1} :(- \infty 1] -\ \textgreater \ IR , g_{1}(x)=x g_{2} :(1 3) -\ \textgreater \ IR , g_{2}(x)=ax+b g_{3} :(3 \infty ] -\ \textgreater \ IR , g_{3}(x)=2x+4 [/tex]

Functia g este injectiva daca $g_{1},g_{2},g_{3}$ injective si Img(1)∩Img(2)=Img(g2) ∩ Img(g3)= Img(g3)∩ Img (g1)= multimea vida

Functia g este surjectiva daca Img(1)∪Img(2)∪Img(3)=IR

Functia g bijectiva daca  g injectiva si g surjectiva

Cum g1,g2,g3  sunt toate functii de gradul I, toate sunt injective. In plus$Img_{1}=(-\infty 1], Img_{3}=[10 \infty)$ atunci pentru ca g sa fie surjectiva avem (1 10)⊆ Img(2)

Calculam acuma imagine lui g2 si obtinem
Fie y=g2(x)=ax+b
$(-\infty 1]$

Avem de trat trei cazuri: 

$a=0=\ \textgreater \ y=Img_{2}={b}$ Cum (1 10) ⊄{b} f  nu este surjectiva si deci nici bijectiva.
Daca b∉ $[10 \infty)$ atunci g este injectiva in caz contrar nu este.

$a\ \textgreater \ 0$ obtinem (cum a≠0) ca $x= \frac{y-b}{a}$
dar cum 1<X<3  obtinem $1\ \textless \ \frac{y-b}{a} \ \textless \ 3 = \ \textgreater \ \ \textgreater \ a+b\ \textless \ y\ \textless \ 3a+b =\ \textgreater \ Img_{2}=(a+b ; 3a+b)$.

Pentru g  sa fie surjectie trebuie sa avem urmatorul caz (sunt 3 cazuri)


$a\ \textless \ 0$ Se procedeaza aproximativ la fel ca in cazul anterior, doar ca la inmultirea cu a  in acel lant de inegalitati se vor schimba semnele.