Question

Sa se studieze marginirea sirului:

 $x_{n} =\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1 } } +\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2 } } +\frac{1}{\sqrt{n^{2}+3 } } +...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n } } ,n\geq 1$

Answer 1

Din inegalitatea mediilor (pentru 2 numere reale pozitive ) √ab <=a+b /2 <=> 1 /√ab >= 2 /a+b iar a,b∈R a.i. a+b≠0 . In cazul nostru avem

1 /√n²+1 >=2 /n²+2 ;

1 /√n²+2 >=2 /n²+3 ;

.....

1 /√n²+n >=2 /n²+n+1 +> prin insumare obtinem x de n >=2 /n²+2 +2 /n²+3 +.....+2 /n²+n+1 <=> x de n >=2·(1 /n²+2 +1 /n²+3 +.....+2 /n²+n+1) si daca aplicam in continuare inegalitatea mediilor pentru 2 numere reale pozitive prin insumare obtinem 2·1 /2n ·(1 √2 +1 /√3 +.....+1 √n²+n+1) =n·(1 /√2 +1 /√3 +.....+1 /√n²+n+1) <=x de n => marginirea sirului x de n este n·(1 /√2 +1 /√3 +.....+1 /√n²+n+1 >= x de n >=2·(1 /n²+2 +1 /n²+3 +.....+2 /n²+n+1) unde n∈N ,n >=1 .