Question

Să se studieze monotnoia șirului $(a_{n})_{n \geq 1}$
având formula termenului general $a_{n}= \frac{2^{n} }{n!}$

conform formulei pentru determinarea monotoniei ( $a_{n+1} - a_{n}$  ) am ajuns la formula $\frac{2^{n+1} }{(n+1)!} - \frac{2^{n} }{n!}$   cum să rezolv mai departe pentru a ajunge la un rezultat cât de cât normal?

Answer 1

$\it a_{n+1} -a_n = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!} -\dfrac{2^n}{n!} =\dfrac{2\cdot2^n}{n!(n+1)} -\dfrac{2^n}{n!} = \dfrac{2^n}{n!} (\dfrac{2}{n+1}-1) \ \textless \ 0$

Expresia din ultima paranteză este negativă pentru orice n ≥ 2, 

prin urmare : 

$\ir a_{n+1} -a_n \ \textless \ 0 \Longrightarrow a_{n+1} \ \textless \ a_n ,\ \forall\ n\geq2$

 Deci, șirul dat este descrescător.