Question

Sa se studieze monotonia si marginirea urmatoarelor siruri:
1.an=(2n+3)/(3n-2)
2. an=(3n+1)/(n+1)
3. an= (n la puterea a 2a)/ n la puterea a 2a +2

Answer 1

sirurile fiind fractii , stabilim monotonia prin impartire si comparare cu 1 
1 .    a ( n +1 )  = [2· ( n +1 )  + 3 ]   / [ 3·( n +1 )  -2 ] =
           = [ 2n  + 5 ]  / [ 3n + 1 ] 
impartire   an  /a(n +1 )  = ( 2n + 3 )  · [3n + 1]  / [2n +5 ] · ( 3n  -2 )  comparam cu 1
an  / a( n +1)    < 1 
( 2n+ 3) · ( 3n +1 ) / ( 2n + 5) ·( 3n -2 )   < 1 
( 2n+3) · ( 3n +1 )  / ( 2n +5)· ( 3n -2 )     - 1   <0 
( 6n² +9n +2n +3 -6n² +4n -15n +6)  / ( 2n+5) ·( 3n -2 )  < 0 
n ∈ N       9  / ( 2n + 5) · ( 3n -2 )  < 0 
                           ↓             ↓
                         poz           poz           nu este negativ 
presupunere falsa   , deci   an  / a( n +1 )   > 1 
                                  an > a( n +1 ) sir monoton descrescator
marginirea   - 3 / 2  ≤  an ≤ 2 / 3 
2.   an  / a( n+1)  = (3n +1 )  / ( n +1)     / [ 3( n +1) + 1 ]  / [ ( n +1 + 1 ]
= ( 3n +1 )·( n +2)   / ( n+ 1) · ( 3n +4 )     <   1    preusupunere 
 ( 3n + 1) ·( n +2) / ( n +1 ) ·( 3n +4 )   -   1   < 0 
(3n² + n +6n + 2 - 3n² -3n - 4n  - 4 ) /  ( n +1 ) ·( 3n +4)   <  0 
 - 2  / ( n +1 ) · ( 3n +4)    < 0 
  ↓  negativ                          < 0, adevarat 
             ⇒   an  / a( n +1 )   < 1  
                  an   < a( n +1  )   sir monoton crescator 
 marginirea     1 ≤   an ≤ 3 / 1
3.    an = n²  /( n² + 2) 
a( n +1)  = ( n +1) ²  / [ ( n +1)² + 2] = ( n +1) ²  / ( n² + 2n +3 ) 
calculam  an -  a( n +1) = [ n²·( n² +2n +3)   - ( n +1) ²·( n² + 2) ] /(n²+2)·(n²+2n+3) 
an - a( n +1) =( n⁴+2n³+3n²-n⁴-2n³-n²-2n²-4n-2) / ( n²+2) ·(n² + 2n +3) =
                     = -  ( 4n +2)   / ( n² +2) · ( n² + 2n +3 )     < 0 
 n∈N                ↓         ↓                    ↓             ↓
                   neg.         poz.               poz.       poz.
⇒  an - a( n +1)  < 0 
      an  <  a( n +1 )  monoton crescator
marginirea  0 ≤ an ≤ 1