Sa se studieze monotonia si marginirea urmatoarelor siruri
a) an = Suma de la k=0 pana la n din 1/k!
Am desfacut suma,am comparat cu 1,mai departe nu stiu ce sa fac. Nu am putut sa gasesc nici un exemplu concret dupa care sa ma iau. Unul ar fii de mare ajutor
Răspunsuri la întrebare
sirurile fiind fractii , stabilim monotonia prin impartire si comparare cu 1
1 . a ( n +1 ) = [2· ( n +1 ) + 3 ] / [ 3·( n +1 ) -2 ] =
= [ 2n + 5 ] / [ 3n + 1 ]
impartire an /a(n +1 ) = ( 2n + 3 ) · [3n + 1] / [2n +5 ] · ( 3n -2 ) comparam cu 1
an / a( n +1) < 1
( 2n+ 3) · ( 3n +1 ) / ( 2n + 5) ·( 3n -2 ) < 1
( 2n+3) · ( 3n +1 ) / ( 2n +5)· ( 3n -2 ) - 1 <0
( 6n² +9n +2n +3 -6n² +4n -15n +6) / ( 2n+5) ·( 3n -2 ) < 0
n ∈ N 9 / ( 2n + 5) · ( 3n -2 ) < 0
↓ ↓
poz poz nu este negativ
presupunere falsa , deci an / a( n +1 ) > 1
an > a( n +1 ) sir monoton descrescator
marginirea - 3 / 2 ≤ an ≤ 2 / 3
2. an / a( n+1) = (3n +1 ) / ( n +1) / [ 3( n +1) + 1 ] / [ ( n +1 + 1 ]
= ( 3n +1 )·( n +2) / ( n+ 1) · ( 3n +4 ) < 1 preusupunere
( 3n + 1) ·( n +2) / ( n +1 ) ·( 3n +4 ) - 1 < 0
(3n² + n +6n + 2 - 3n² -3n - 4n - 4 ) / ( n +1 ) ·( 3n +4) < 0
- 2 / ( n +1 ) · ( 3n +4) < 0
↓ negativ < 0, adevarat
⇒ an / a( n +1 ) < 1
an < a( n +1 ) sir monoton crescator
marginirea 1 ≤ an ≤ 3 / 1
3. an = n² /( n² + 2)
a( n +1) = ( n +1) ² / [ ( n +1)² + 2] = ( n +1) ² / ( n² + 2n +3 )
calculam an - a( n +1) = [ n²·( n² +2n +3) - ( n +1) ²·( n² + 2) ] /(n²+2)·(n²+2n+3)
an - a( n +1) =( n⁴+2n³+3n²-n⁴-2n³-n²-2n²-4n-2) / ( n²+2) ·(n² + 2n +3) =
= - ( 4n +2) / ( n² +2) · ( n² + 2n +3 ) < 0
n∈N ↓ ↓ ↓ ↓
neg. poz. poz. poz.
⇒ an - a( n +1) < 0
an < a( n +1 ) monoton crescator
marginirea 0 ≤ an ≤ 1
ti-am dat un exemplu, sper ca iti este de folos! <3