Question

Sa se verifice egalitatea:
(Sinx +sin2x+..+sin100x)/(1+cosx+cos2x+..+cos100x)=tg50x
As dori o rezolvare mai amanuntita, am un exempku de rezolvare in care se da factor comun 2sin50 si 2cos50 dar nu prea l-am inteles.
Multumesc anticipat!

Answer 1

Sper sa se vada destul de clar rezolvarea problemei pe imaginile de le-am incarcat.
Desi pare lunga rezolvarea problemei, nu e chiar asa greu de urmarit.
Nr. ceva cam mare de pagini cu rezolvarea e de la formulele utilizate.
Oricum, sper sa te ajute rezolvarea.
Problema propusa de tine e de-a dreptul interesanta.

8d28cb3c7bcec9862b30319fbac81f6f.pdf

Answer 2

Notez partea stângă a inegalității cu E(x).
Folosesc formulele:
$sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}cos\dfrac{a-b}{2}$

$cosa+cosb=2cos\dfrac{a+b}{2}cos\dfrac{a-b}{2}$

$cos(-x)=cosx;\ \ sin(-x)=-sinx$

$E(x)=\dfrac{sin0+sinx+sin2x+...+sin99x+sin100x}{cos0+cosx+cos2x+...+cos99x+cos100x}=$

$\dfrac{(sin0+sin100x)+(sinx+sin99x)+...+(sin49x+sin51x)+sin50x}{(cos0+cos100x)+cosx+cos99x)+cos49x+cos51x)+cos50x}$

(Posibilitatile siteului nu-mi permit sa mai pun si semnul egal sau sa scriu o fractie mai lunga. Am sa scriu numaratorul si numitorul separat)

La numarator avem:

${2sin\dfrac{0+100x}{2}cos\dfrac{0-100x}{2}+2sin\dfrac{x+99x}{2}cos\dfrac{x-99x}{2}+...$

$...+2sin\dfrac{49x+51x}{2}cos\dfrac{49x-51x}{2}+sin50x}$

La numitor avem:

${2sin\dfrac{0+100x}{2}cos\dfrac{0-100x}{2}+2sin\dfrac{x+99x}{2}cos\dfrac{x-99x}{2}+...$

$...+2cos\dfrac{49x+51x}{2}cos\dfrac{49x-51x}{2}+cos50x$

Dam factor comun la numarator pe $sin50x$, la numitor pe $cos50x$, apoi simplificam prin paranteza obtinuta, si ramane

$\dfrac{sin50x}{cos50x}=tg50x$