Question

Salu ! As vrea sa imi rezolvati si mie cu explicatii exercitiul 1 , a si d

Answer 1

a) pasul 1
verificam pt n=1
1=182/2=1 adevarat
b) pasul 2 presupunem adevarat ca
1+2+3+...+n= n(n+1)/2
c) pasul 3  cu presupunera ca Pn este adevarata studiem P(n+1)
 1+2+...+n+n+1= n(n+1)/2  +n+1 am folsit faptul presupus adevarat ca primii n termeni dau suma n(n+1)/2
aducem la acelasi numitor
 1+2+...+n+n+1=(n²+n+2n+2)/2
 = (n²+3n+2)/2
=(n+1)(n+2)/2= (n+1) (n+1+1)/2 deci de aceeasi forma cu Pn , dar ca e cval;abila cand n devine n+1
 deci daca Pn e adevarata , atunci si P (n+1) este adevarata
 asfel prin inductie putem trece mereu la 'n" urmator, deci Propozitia e valabila ∀n∈N

d)  pasul 1 verificam pt n=1
 1*2=1*2*3/3
 2=2 Adevarat
 pasul;2
 consideram adevarat ca ; 1*2+2*3+...n* (n+1)=n(n+1) (n+2)/3

verificam P (n+1)


1*2+2*3+...+n(n+1) + (n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)/3 +(n+1)(n+2)
am folosit faptul ,presupus adevarat ca,
1*2+2*3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

aduc la acelasi numitor in P (n+1);


1*2+2*3+...+n(n+1) + (n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)/3 +3*(n+1)(n+2)/3
si adun fractiile
                                                         = (n+1)(n+2) (n+3)/3
 adica                                               = (n+1) (n+1+1) (n+1+2)/3


adica de aceeasi orma cu Pn , dar acumeste pt n+1 termeni
 se spune Pn⇒P (n+1)
deci adevarat , demonstrat prin inductie