Question

Salut !

1. Afla numarul n   ∈ N* astfel incat : 1/1x2 + 1/2x3 + ....... +1/n(n+1) = 100/101
Aici va rog sa imi scrieti formulza dupa care se lucreaza,am uitat-o.

2.Numarul n = 12/11 + 13/22 + 14/33 + ...... + 110/1089 - ( 1+1/2 + 1/3 + ...... 1/99 ) este patratul perfect al numarului : ? Asta cum se calculeaza ?

3. Determina cifra x din ecuatia 0,(0x) + 0,(1x) + 0,(2x) + ...... + 0,(8x) = x.

4. Calculand valoarea numarului real a = RADICAL MARE din 3⁴ + 3⁵ , vei obtine : ? = > Radical din suma aceea )

Nu trebuie neaparat rezolvarea tuturor. Multumesc anticipat !

Answer 1

1) Avem $\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.
Dând lui k valori de la 1 la n avem
$\displaystyle\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1}=\\=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\\=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
Rezultă n=100.

2) Suma se scrie
 $\left(\displaystyle\frac{12}{11}-1\right)+\left(\displaystyle\frac{13}{22}-\frac{1}{2}\right)+\ldots+\left(\displaystyle\frac{110}{1089}-\frac{1}{99}\right)=\\=\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{2}{22}+\frac{3}{33}+\ldots+\frac{99}{1089}=\\=\underbrace{\displaystyle\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{11}}_{\mbox{99 ori}}=\frac{99}{11}=9$
Deci suma este pătratul lui 3.

3) Ecuația se scrie
$\displaystyle\frac{x}{99}+\frac{10+x}{99}+\frac{20+x}{99}+\ldots+\frac{80+x}{99}=x$
sau $9x+10+20+\ldots+80=99x\Rightarrow 90x=360\Rightarrow x=4$

4) $\sqrt{3^4+3^5}=\sqrt{3^4(1+3)}=\sqrt{81\cdot 4}=9\cdot 2=18$