Question

Salut!
7. Să se stabilească în fiecare caz dacă numărul n este rațional sau irațional.
Multumesc!

Answer 1

a. Se bazeaza pe ultima cifra.Stim ca u(5^n)=5, ∀n∈N*,prin urmare u(5²⁰¹⁷+2017)=2. Un patrat perfect are ultima cifra 0,1,4,5,6 sau 9,deci n este irational (fiind radacina unui numar liber de patrate).

b.Aici folosim suma lui Gauss. 2(1+2+3+...+500)+501= 2* 500 *501/2+501= 500*501+501=501(500+1)= 501*501 = 501², deci n=√501² =501 ∈Q

c.Vom nota suma cu S.

S=1+2+2²+2³+...+2¹⁴⁹,deci 2S=2+2²+2³+...+2¹⁵⁰. Atunci:                                               2S-S=2¹⁵⁰-1 (termenii se simplifica consecutiv), adica S=2¹⁵⁰-1= (2⁷⁵)²-1 .Altfel spus S e de forma p²-1 , deci n=√S este irational.

Observatie: Se demonstreaza usor ca orice numar de forma √(p²-1),p≠1 este irational,eventual tinand cont de faptul ca (p-1)²<p²-1< p².

Sper ca v-am ajutat. O seara faina!

Answer 2

Am atasat o rezolvare.