Matematică, întrebare adresată de Rayzen, 9 ani în urmă

Salut! Ajutati-ma cu AL 35* va rog.!

Anexe:

albastruverde12: Ai si raspunsurile? Am obtinut ca ar fi multimea vida. (Prin doua metode am obtinut m<=5/9, iar mai apoi m>5/9 ... deci o contradictie din care ar reiesi ca raspunsul este e).
Rayzen: raspunsul e e) asa este.
Rayzen: nu am raspunsurile. Culegerea asta nu are raspunsuri, dar la multi prieteni e-a dat multimea vida. Asta este raspunsul
Rayzen: le-a*
Rayzen: daca ai timp, poti sa imi arati cum ai facut? sunt curios ce metode ai aplicat, :D
albastruverde12: Multumesc! Imi era teama sa nu fi gresit pe undeva la calcule. Voi adauga imediat solutia.
Rayzen: multumesc mult!
c04f: Da este multimea vida, rezulta si prin excluderea celorlalte variante.
albastruverde12: Intr-adevar! a) si d) nu convin pentru ca m=1/3 nu convine. b), c) si f) nu convin pentru ca m nu poate sa fie negativ.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de albastruverde12
2
\displaystyle Daca~notam~t= \sqrt[3]{x^2+8},~ecuatia~devine~ \\  \\ mt^2+2(m-1)t+m-1=0.~(*) \\  \\ Sa~observam~ca~t~ia~orice~valoare \ge 2.~Deci~o~conditie~necesara~si \\  \\ si~suficienta~pentru~ca~toate~radacinile~sa~fie~reale~ar~fi \\  \\ t_1 \ge 2 ~si~ t_2 \ge 2. \\  \\ Sa~mai~observam~ca~m\ \textgreater \ 0.~(In~caz~contrar~am~avea~mt^2\ \textless \ 0~; \\  \\ 2(m-1)t\ \textless \ 0~si~m-1\ \textless \ 0)~deci~egalitatea~(*)~ar~fi~imposibila). \\  \\ Cea~mai~rapida~cale~prin~care~am~demonstrat~ca~m \le \frac{5}{9}~a~fost \\  \\ urmatoarea:

\displaystyle (*) \Leftrightarrow m(t^2+2t+1)-2t-1=0 \Leftrightarrow \\  \\ \Leftrightarrow m(t+1)^2=2t+1 \Leftrightarrow \\  \\ \Leftrightarrow m= \frac{2t+1}{(t+1)^2}.~(**) \\  \\ Consideram~functia~f: [2, + \infty) \to \mathbb{R},~f(x)= \frac{2x+1}{(x+1)^2}. \\  \\ Avem~f'(x)= -\frac{2x}{(x+1)^3}\ \textless \ 0,~deci~f~este~strict~descrescatoare. \\  \\ Din~(**)~avem~m=f(t) \le f(2)= \frac{5}{9}.

\displaystyle Metoda~prin~care~am~ajuns~la~contradictie: \\  \\ mt^2+2(m-1)t+m-1=0~(*) \\  \\  \Delta=4(1-m) \\  \\ Observam~ca~nu~putem~avea~t_1=t_2.~(ar~implica~ \Delta =0,~deci~m=1, \\  \\ deci~t=0~(nu~convine) \\  \\

\displaystyle Pentru~a~avea~t_1,~t_2 \ge 2~am~pus~conditia~(necesara,~dar~nu~si \\  \\ suficienta!)~(t_1-2)(t_2-2) \ge 0.~Nu~este~o~conditie~suficienta, \\  \\ deoarece~este~verificata~de~ \left \{ {{t_1 \ge 2} \atop {t_2 \ge 2}} \right.~si~ \left \{ {{t_1 \le 2} \atop {t_2 \le 2}} \right.  . \\  \\ Pentru~a~elimina~al~doilea~sistem,~completam~conditia~cu~ \\  \\ t_1+t_2\ \textgreater \ 4.~(egalitatea~nu~poate~avea~loc,~conform~afirmatiilor \\  \\ anterioare~;~oricum...~se~pare~ca~aceasta~conditie~nu~este~utila). \\  \\

\displaystyle (t_1-2)(t_2-2) \ge 0 \Leftrightarrow t_1t_2-2(t_1+t_2)+4 \ge 0.~(***) \\  \\ t_1t_2= \frac{m-1}{m} \\  \\ t_1+t_2= \frac{2(1-m)}{m} \\  \\ Deci~(***) \Leftrightarrow 5 \cdot \frac{m-1}{m}+4 \ge 0,~deci~9- \frac{5}{m} \ge 0 ,~deci~m \ge \frac{5}{9}. \\  \\ Din~m \le \frac{5}{9} ~si~ m \ge \frac{5}{9}~rezulta~m= \frac{5}{9}. \\  \\ Testand~acet~caz,~constatam~ca~nu~convine~(o~radacina \\  \\ va~fi~negativa). \\  \\ Prin~urmare~raspunsul~problemei~este~e).

Rayzen: Multumesc mult de tot !!
albastruverde12: Cu placere! :)
albastruverde12: La partea a doua am tinut cont in rezolvare de faptul ca am demonstrat in prima parte ca m>0. Tot la partea a doua, cand am spus despre o relatie ca este inutila m-am referit la faptul ca nu ajuta in rezolvare. (doar asigura suficienta, dar se pare ca "necesitatea" a fost "suficienta" pentru rezolvare :)) )
Alte întrebări interesante