Question

Salut, am nevoie de ajutor la acest ex.( explicatii pas cu pas, va rog )

Answer 1

Răspuns:

b)

Explicație pas cu pas:

Să fixăm um $\varepsilon\in\left(0,1\right).$ În aceste condiții se arată, foarte ușor, că $\forall x\in\left[\varepsilon,1\right]\quad g(x)=\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ este o funcție constantă. În primul rând se arată că $\forall x\in\left[\varepsilon,1\right]\quad g'(x)=0$ și după aia, de exemplu, $g(1)=2\arctan(1)=\frac{\pi}{2}.$

De acea, vom avea

$\forall x\in\left[\varepsilon,1\right]\qquad f(x)=x\left(\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{\pi}{2}x$

Volumul obținut prin rotația axei $x$ e dată prin expresia:

$V=\pi\int_a^b{\left[f(x)\right]^2dx}$

De unde vom avea că

$V=\pi\lim_{\varepsilon\to 0}{\int_\varepsilon^1{\frac{\pi^2}{4}x^2dx}=\frac{\pi^3}{4}\int_0^1{x^2dx}=\frac{\pi^3}{12}$

$\hfill{\boxdot}$