Question

Salut,am nevoie de ajutor la acest ex. (explicatii pas cu pas , va rog )

Answer 1

Răspuns:

a)

Explicație pas cu pas:

$a^2-2b^2=1 \iff a^2=1+2b^2$

Ceia ce sugerează că $1+2b^2$ este un pătrat perfect. Știm că mulțimea pătraților perfecți este infinită. În acest fel, fie mulțimea $P:=\left\{n^2:\:n\in \mathbb{N} \right\}$ . Consideră funcția următoare:

$f\colon P\to B, \quad f(x) = 1+ 2x^2$ unde $B:=\left\{1+2b^2:\: b\in\mathbb{N}\right\}.$ Se verifică foarte ușor că această funcție este injectivă. Aceasta înseamnă că cardinalul lui $P$ este mai mic sau egal decât cardinalul lui $B$, ce înseamnă că $B$ este infinit. Pentru a termina demonstrația, este doar necesar de a arată că $\varphi\colon A'\to B, \quad \varphi(a+b\sqrt{2})=1+2b^2$ este o funcție bijectivă, unde $A'$ este mulțimea $A$ restrictă la coeficienți naturali. În acest caz dacă $A'$ este infinit, cu atât mai mult $A.$

$\hfill{\boxdot}$