Question

Salut, am nevoie de ajutor la ex. 35

Answer 1

Răspuns:

0

Explicație pas cu pas:

Limita se rezolva cu criteriul clestelui.

In primul rand  luam termenul general al functiei trigonometrice ( cos k )

cos k va returna valori intre [-1,1] , adica:

$-1\leq cos k \leq 1$      (1)

Acum ne vom concentra pe numitor, avand termenul general : $\frac{1}{n^{2} +k}$

Acest termen general trebuie incadrat intre doi termeni generali.

$??\leq \frac{1}{n^{2}+k } \leq ??$

Prima data lucram cu partea dreapta. Putem maximiza termenul $\frac{1}{n^{2} +k}$ eliminandu-l pe k. Facem acest lucru deoarece se va obtine un termen mai mare decat $\frac{1}{n^{2} +k}$, adica $\frac{1}{n^{2} }$.

Insa in stanga trebuie sa minimizam termenul, adica sa inlocuim k cu n pt. a obtine un termen mai mic decat $\frac{1}{n^{2} +k}$, adica $\frac{1}{n^{2} +n}$

Astfel, obtinem :

$\frac{1}{n^{2} +n}\leq \frac{1}{n^{2}+k } \leq \frac{1}{n^{2} }$      (2)

Acum, vom inmulti inegalitatea (1) cu (2), obtinand:

$-\frac{1}{n^{2} +n}\leq \frac{cos k}{n^{2}+k } \leq \frac{1}{n^{2} }$

Am incadrat termenul general al sirului in alti doi termeni.

Facand suma de la k = 1 pana la n, obtinem:

$\frac{n}{n^{2} +n}\leq a_{n} \leq \frac{n}{n^{2} }$

Se obtine $a_{n}$ incadrat in cele doua siruri, dupa ce am facut suma de la k = 1 pana la n.

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2} +n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2} } = 0$

Conform criteriul clestelui, cele doua siruri avand limita zero, sirul $a_{n}$ va avea si el limita 0.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: