Question

Salut, am nevoie de ajutor la ex. 71

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

f)

1. se amplifica cu conjugata si se grupeaza convenabil termenii de la numitor

$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}*(\sqrt{1 + sinx}+\sqrt{cosx})}{1 - cosx + xsinx}$

2. consideram 1 = cos0 si se aplica formula  pentru (cosa - cosb), iar paranteza de sus se scoate din limita caci este egala cu 2

*** $1 - cosx = -2 sin\frac{x}{2} *sin\frac{-x}{2}$, sinus este functie impara: $sin-x = -sinx$, ecuatia devine $2sin\frac{x}{2}^{2}$

$2* \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} }{2*sin\frac{x}{2} ^{2} - xsinx}$

3. se aplica limita fundamentala $\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x} = 1$

$2* \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} }{\frac{2*sin\frac{x}{2} ^{2}}{\frac{x^{2} }{4}}*\frac{x^{2} }{4} - \frac{xsinx}{x}*x }$

4. intrucat $x^{2}$ se reduce iar limitele fundamentale formate sunt egale cu 1 limita va fi egale cu $2 *\frac{1}{1/2 + 1} = 2 * \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}$