Question

Salut, am urmatoarea problema:

Fie legea: x . y = xy-2x-2y+P; P apartine lui R.

Legea are element neutru pentru ???

Am facut-o de 100 de ori si imi da ca P are valoarea 4, dar raspunsul corect este P=6, cum naiba???

Answer 1

Fie legea de compozitie: x*y=xy-2x-2y+P.

Pentru a o rezolva, o vom aduce initial la o forma mai simpla:

dand factor comun fortat, legea devine:

x*y=x(y-2) .... Acum, noi avem in prima paranteza y-2, si trebuie sa facem cumva sa avem si in a 2-a la fel, de aceea vom proceda astfel: observam ca -2y+P se poate scrie sub forma: -2(y-2)-4+P, adica -2y+4-4+P, deci tot acelasi lucru ne va da, doar ca am adus termenul sub o alta forma pentru a completa factorul comun din prima parte a legii. Aceasta tehnica se aseamana cu factorul comun fortat de la limite cand avem cazul inf/inf...Revenind:

Legea completa devine:

x*y=x(y-2)-2(y-2)-4+P = (y-2)(x-2)-4+P . Deoarece legea e compusa din Inmultire si adunare, acestea sunt parti stabile, si comutative pe R, de aceea putem scrie: x*y=(x-2)(y-2)+P-4

Conditia de existenta al unui element neutru este:

x*e=e*x=x. Vom incepe prin a demonstra x*e=x (atentie, la examene trebuie sa demonstrezi si e*x=x pentru a primi punctajul complet)

x*e=x <=> (e-2)(x-2)+P-4-x=0 => ex-2e-2x+P+4-4-x=0 =>

ex-2e-3x+P=0 => Inca odata dau factor comun fortat:

e(x-2)-3(x-2)+P-6 => De ce e asa? Deoarece: e(x-2) = ex-2e, prima parte; iar -3(x-2)-6+P = -3x+6-6+P, a 2-a parte (aici noi aveam +6 si ne trebuia +0, cat adun/scad ca sa obtin 0 din +6? R: -6) =>

El neutru devine: (x-2)(e-3)+P-6=0.

Din ipoteza, cand exista element neutru aici? cand produsul si suma dau zero. Cand un produs da 0? cand unul din factori e 0. Noi trebuie sa ne legam de e => e-3=0. Cand e-3=0? Cand suma P-6 = 0. Cand P-6=0? Cand P=6 (Ca sa existe e=3 el neutru, P-6 trebuie sa fie 0).

Concluzie: Pentru P-6=0, exista e=3 el neutru pentru legea data.

Analog se demonstreaza si pentru e*x=x

Answer 2

[tex]\it x*y = xy -2x-2y+p [/tex]

$\it x*e =x \Leftrightarrow xe-2x-2e+p=x \Leftrightarrow xe-2e=x+2x-p$

$\it e(x-2) =3x-p \Leftrightarrow e = \dfrac{3x-p}{x-2}\Leftrightarrow e=\dfrac{3(x-\dfrac{p}{3})}{x-2}=3\dfrac{(x-\dfrac{p}{3})}{x-2}$

$\it \forall x\in\mathbb{R}\backslash\{2\} \Rightarrow e=3, \ daca \ x-\dfrac{p}{3} =x-2 \Rightarrow \dfrac{p}{3}=2\Rightarrow p=6$