Question

Salut, as avea nevoie la exercițiul 2 b.. Va rog scrieți pas cu pas cum se face ai daca mai e o formula ceva sa o scrieți.. O sa mi fie mai ușor sa înțeleg exercițiu'. Mulțumesc frumos

Answer 1

$\displaystyle 2.~~~f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},~f(x)=x^4+x+1 \\ \\ \\b)~\int\limits_1^e(f(x)-x^4-1)ln~xdx= \frac{e^2+1}{4}\\ \\ \\ \int\limits_1^e(f(x)-x^4-1)ln~xdx=\int\limits_1^e(x^4+x+1-x^4-1)ln~xdx=\int\limits_1^exln~xdx\\ \\ \\ \int\limits xln~xdx\\ \\\\ \boxed{\mathbf{\int\limits f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int\limits f'(x)g(x)dx}}\\ \\ \\f(x)=ln~x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=(ln~x)'= \frac{1}{x}\\ \\ \\ g'(x)=x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits xdx= \frac{x^2}{2}$

$\displaystyle \int\limits xln~xdx=ln~x\cdot \frac{x^2}{2} -\int\limits \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx= \frac{x^2ln~x}{2} -\int\limits \frac{x}{2} dx=\\ \\ \\ = \frac{x^2ln~x}{2}- \int\limits \frac{1}{2} \cdot xdx= \frac{x^2ln~x}{2} - \frac{1}{2} \int\limits xdx= \frac{x^2ln~x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} +C=\\ \\ \\ = \frac{x^2ln~x}{2} - \frac{x^2}{4} +C= \frac{2x^2ln~x-x^2}{4} +C$

$\displaystyle \int\limits_1^e xln~xdx= \frac{2x^2ln~x-x^2}{4} \Bigg|_1^e= \frac{2\cdot e^2\cdot ln~e-e^2}{4} - \frac{2\cdot 1^2\cdot ln~1-1^2}{4} =\\ \\ \\ = \frac{2e^2\cdot 1-e^2}{4} - \frac{2\cdot 1 \cdot 0-1}{4} = \frac{2e^2-e^2+1}{4} = \mathbf{\frac{e^2+1}{4} }$