Question

Salut, aveti o ideea la problema numarul 7, am tot incercat insa nimic...

Answer 1

$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^{x^a}- x^{x^b}}{\ln ^2 x} \overset{(*)}{=} \\ \\ \ln x = t \Rightarrow x = e^t \\ x \to 1 \Rightarrow e^t \to 1 \Rightarrow t \to 0 \\ \\ \overset{(*)}{=}\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{(e^t)^{(e^t)^{a}}}{t^2} - \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{(e^t)^{(e^t)^{b}}}{t^2} \\ \\ = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t\cdot e^{at}}-e^{t\cdot e^{bt}} }{t^2} = (\text{aplicam L'Hopital)}$

$\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t\cdot e^{at}}(e^{at}+at\cdot e^{at})-e^{t\cdot e^{bt}}(e^{bt}+bt\cdot e^{bt})}{2t} = \\ \\ = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t\cdot (e^{at}+a)}(1+at)-e^{t\cdot (e^{bt}+b)}(1+bt)}{2t} = (L'H)\\ \\ = \dfrac{1}{2}\cdot \Big[\lim\limits_{t\to 0}\Big( e^{t\cdot (e^{at}+a)}(e^{at}+a+at\cdot e^{at})(1+at)+a\cdot e^{t\cdot (e^{at}+a)} - \\ \\ - e^{t\cdot (e^{bt}+b)}(e^{bt}+b+bt\cdot e^{bt})(1+bt)+b\cdot e^{t\cdot (e^{bt}+b)} \Big)\Big] =$

$= \dfrac{1}{2}\cdot \Big[(1+a+a)-(1+b+b)\Big] = a-b$