Question

Salut, cum rezolv acest tip de exercitii?

Answer 1

a) Termenul general este 1/k(k+2) = 1/2 * [2/k(k+2)] = 1/2 * [(k+2 - k)/k(k+2)] = 1/2 * [k+2/k(k+2) - k/k(k+2)] = 1/2 * [ 1/k - 1/k+2]

Deci suma din enunt se mai scrie:

S=1/2 * [ 1/1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1) + 1/n - 1/(n+2) ] =

= 1/2 * [ 1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2) ] =

= 1/2 * [ 2(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2) - (n+2) - (n+1) ] / 2(n+1)(n+2) =

= 1/2 * (2n^2 + 6n + 4 + n^2 + 3n + 2 - n - 2 - n - 1) / (2n^2 + 6n + 4) =

= 1/2 * (3n^2 + 7n + 3) / (2n^2 + 6n + 4)

lim(n->oo) S = 3/4;

b) Studiind convergenta la infinit => de la un rang incolo n>ne =>

lim(n->oo) 1/ln(k) - 1/ln(k+1) = 0