Question

Salut! Cum se rezolva limita asta?

Answer 1

Salut,

Înainte de a afla limita, va trebui să aducem suma din enunț la forma cea mai simplă, formă care depinde de n.

Suma din enunț are n termeni, o vom reduce dacă reușim să scriem termenul general ca o diferență de 2 termeni.

Scriem termenul general așa:

$\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{k+1-1}{(k+1)!}=\dfrac{k+1}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+1)!}=\dfrac{k+1}{(k+1)\cdot k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}=\\\\=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}.\ D\breve{a}m\ succesiv\ valori\ lui\ k\ de\ la\ 1\ la\ n:\\\\\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\ldots+\dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{n!}+\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}.$

Toți termenii se reduc, în afară de primul și ultimul și avem că suma de sub limită are valoarea:

$1-\dfrac{1}{(n+1)!}.$

Când n tinde la infinit avem că 1/(n + 1)! tinde la 0, pentru că (n + 1)! tinde la +∞.

Asta înseamnă că valoarea limitei este 1.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.