Question

Salut, dupa ceva timp de batut capul am ajuns la solutia x = 2, Dar la solutii am si x = 1 si nu inteleg de unde ...

Answer 1

$A=\{x \in \mathbb{N^*}|~2^{2-x}\ln{2}+\ln{x}=\ln{4} \}$

$2^{2-x}\ln{2}+\ln{x}=\ln{4}$

Separăm funcția exponențială de cea logaritmică, trecând pe $\ln{x}$ în membrul drept cu semn schimbat și împărțind toată ecuația la $\ln{2}$.

$2^{2-x}= \dfrac{\ln{4}-\ln{x}}{\ln{2}}$

În membrul stâng avem o ecuație exponențială cu bază pozitivă, deci înseamnă că va avea mereu valori pozitive, adică:

$2^{2-x}\ \textgreater \ 0, ~\forall x\in\mathbb{R}$

Dacă membrul stâng este pozitiv și este egal cu membrul drept, înseamnă că și membrul drept este pozitiv, deci:

$\dfrac{\ln{4}-\ln{x}}{\ln{2}}\ \textgreater \ 0$

Numitorul acestei fracții este pozitiv deoarece e o constantă pozitivă, așa că problema se pune la numătăror:

$\ln{4}-\ln{x}\ \textgreater \ 0\\\\\ln{4}\ \textgreater \ \ln{x}$

Deci, conform injectivității funcției logaritmice, 4>x, sau rescris, x<4.

$x\in (-\infty; 4)$

Dar punând condțiile de existență ale logaritmului, adică $x \textgreater 0$, intervalul se restrânge la $(0; 4)$

Dar în problemă se cer doar valorille naturale nenule ($\mathbb{N^*}$) ale lui x.

Singurele valori naturale nenule din intervalul $(0; 4)$ sunt {1,2,3}. Așa ca dacă există vreo soluție (naturală nenulă) a ecuației, se va afla printre aceste 3 numere.

După cum observi, am redus numărul soluțiilor posibile de la $\mathbb{N^*}$ la 3 valori, pe care le verifici să vezi dacă satisfac ecuația.

După cum vei observa, 1 satisface, deci este soluție, 2 satisface deci este soluție, iar 3 nu satisface.  

În concluzie, mulțimea va fi $A=\{1,2\}$. 

Poți fi sigur că nu mai sunt alte soluții (naturale nenule), întrucât am pus condițiile pentru care egalitatea este definită și am verificat toate valorile posibile.

Ca fapt divers, bănuiesc că ai observat că menționez mereu "valori/soluții natural nenule" , iar asta pentru că ecuația dată are și o a treia soluție (cel mai probabil) irațională, conform graficului funcției asociate (l-am pus la poză).

De aici se trage și ideea că nu e obligatorie o rezolvare completă a ecuației, din care ai găsi toate valorile, iar asta pentru că pe tine te interesează doar $x \in \bathbb{N^*}$ și am putut rezolva într-un mod mult mai eficient.