Question

Salut. In niste bareme am gasit faputl ca 1-1÷2+1÷3-1÷4+.....+1÷2013-1÷2014=1÷(1007+1)+1÷(1007+2)+...+1÷(1007+1007. Imi poate demonstra cineva de ce este corecta aceasta ecuatie? Multumesc​

Answer 1

Salut,

Îți arăt cum se rezolvă în general. Procesăm membrul stâng al identității (nu este o ecuație, este o identitate, bine ?), adică fiecare fracție cu semnul minus o scriem așa: --1/k = 1/k -- 2/k.

Am scris între paranteze această valoare 1/k -- 2/k, deși parantezele nu sunt necesare, dar așa sunt mai clare calculele:

$1-\dfrac{1}2+\dfrac{1}3-\dfrac{1}4+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}=\\\\\\=1+\left(\dfrac{1}2-2\cdot\dfrac{1}2\right)+\dfrac{1}3+\left(\dfrac{1}4-2\cdot\dfrac{1}4\right)+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\left(\dfrac{1}{2n}-2\cdot\dfrac{1}{2n}\right).$

În continuare, tot pentru membrul stâng scriem toate fracțiile cu semnul plus (având numitorul crescător de la 1 la 2n), una după alta și apoi la final avem un factor comun pe 2 pentru un număr de n fracții, toate au numitorul par, adică de forma 2p, unde p ia valori de la 1 la n):

$1+\left(\dfrac{1}2-2\cdot\dfrac{1}2\right)+\dfrac{1}3+\left(\dfrac{1}4-2\cdot\dfrac{1}4\right)+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\left(\dfrac{1}{2n}-2\cdot\dfrac{1}{2n}\right)=\\\\\\=1+\dfrac{1}2+\dfrac{1}3+\dfrac{1}4+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}-2\cdot\left(\dfrac{1}2+\dfrac{1}4+\ldots+\dfrac{1}{2n}\right)=\\\\\\=\left(1+\dfrac{1}2+\dfrac{1}3+\ldots+\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\ldots+\dfrac1{2n-1}+\dfrac{1}{2n}-\left(1+\dfrac{1}2+\dfrac{1}3+\ldots+\dfrac{1}{n}\right).$

În calculele de mai sus (rândul din mijloc), am introdus factorul 2 în paranteza de la final. Observăm că în ultima relație de mai sus toți termenii din prima paranteză (n fracții) se reduc cu toate cele n fracții din a doua paranteză, ceea ce rămâne este suma celorlalte n fracții, adică:

$\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\ldots+\dfrac1{2n-1}+\dfrac{1}{2n}.$

Pentru n = 1007 obținem exact identitatea din poza pe care ai publicat-o.

Identitatea se poate demonstra și prin metoda inducției matematice complete (studiate la liceu), dar am preferat să scriu această demonstrație, să fie înțeleasă mai bine și de către elevii de gimnaziu.

La final, trebuie neapărat să știi că această identitate se numește identitatea Botez-Catalan, iar Botez (Neculai Ștefan Botez) a fost un inginer și un matematician român. Foarte frumos, nu ?

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.