Question

Salut!
Ma poate ajuta cinev cu sub II EX 1 punctul c?
Niciodata nu am fost bun la rezolvarea punctelor c, vreo sugestie pe viitor, modalitate de gandire?

Answer 1

Daca A(n) = A(1) * A(2) * ... * A(2016) inseamna ca si determinantii celor doua expresii sunt egali:

det(A(n)) = det(A(1) * A(2) * ... * A(2016)) = det(A(1)) * det(A(2)) * ... * det(A(2016)).    

Pentru orice x, din definitia matricei A(x) rezulta det(A(x)) = 2^x (folosim simbolul ^ pentru ridicare la putere).

Inlocuind in egalitatea precedenta, obtinem:

2^n = 2^1 * 2^2 * ... * 2^2016
2^n = 2^(1 + 2 + 3 + ... + 2016)
2^n = 2^(2016 * 2017 / 2)
2^n = 2^(1008*2017)
n = 1008 * 2017, deci n este divizibil cu 2017

======

Ca si sugestii de gandire, aici am apelat la determinanti pentru ca subpunctul (a) sugera un pic lucrul acesta (prin faptul ca det(A(n)) are o forma simpla.. 2^n).

O alta sugestie, mai generala, e sa incerci sa deduci proprietati ale expresiilor implicate. De exemplu aici, la punctul (c), partea incomoda este produsul din partea dreapta A(1) * A(2) * ... * A(n).
Merita deci studiata un pic forma pe care o are produsul A(x) * A(y).
Inlocuind in definitia lui A si calculand produsul de matrici, iese A(x) * A(y) = A(x + y), ceea ce e foarte util.

Cu ajutorul proprietatii acesteia, A(x) * A(y) = A(x + y), se poate obtine si o alta solutie: pornind de la acea relatie se poate demonstra usor ca A(1) * A(2) * ... * A(2016) = A(1 + 2 + ... + 2016) = A(1008 * 2017).