Question

Salut. Ma poate ajuta cineva cu problema asta va rog!
Multumesc frumos!

Answer 1

a) punctul a nu se rezolva prelungind laturile pana se intersecteaza. dupa cum poti observa cele doua drepte (VA si DC) sunt necoplanare. asa ca vei cauta o paralela la una dintre laturi care sa fie concurenta cu cealalta latura. VABCD fiind piramida patrulatera regulata inseamna ca ABCD este un patrat, deci din proprietatile patratului AB||CD. tocmai ai gasit paralela la DC: inseamna ca unghiul dintre VA si DC este acelasi cu unghiul dintre VA si AB, deci sin(VA,DC)=sin(VA,AB)=sin(VAB). mai departe te orientezi dupa desenul triunghiului VAB pe care l-am atasat aici. 
cum VABCD este o piramida patrulatera regulata de baza ABCD, VAB este un triunghi isoscel de baza AB. fie VE⊥AB (VE inaltime pe baza unui triunghi isoscel => VE este mediana pe AB => E=mij[AB] => AE=EB=AB/2=12/2cm=6cm). acum trebuie doar sa o afli pe VE, care este perpendiculara pe AB, determinand astfel o pereche de unghiuri drepte si, implicit, o pereche de triunghiuri dreptunghice. vom afla VE din teorema lui Pitagora, aplicata in VEA: VE²+AE²=AV² => VE=√(AV²-AE²)=√(10²-6²)=√(100-36)=√64 => VE=8 cm. finalizezi: in VEA, sinusul lui VAB (VAB, VAE, acelasi unghi este) este egal cu VE/AV=8/10=4/5=0,8.

b) mai exista o proprietate interesanta a piramidei patrulatere regulate: fetele triunghiulare reprezinta triunghiuri isoscele congruente. daca M=mij[VB] atunci AM si MC sunt mediane pe aceeasi latura insa in triunghiuri diferite, dar congruente (si isoscele). poti printr-o congruenta de triunghiuri sa arati ca MC=AM, eu ti-am dat doar ideea de inceput. deci, in esenta, triunghiul MAC este isoscel cu laturile congruente AM si MC, deci de baza AC. acum trebuie sa faci un pas foarte important (asa se va rezolva si subpunctul c)), sa numesti intersectia dreptelor AC si BD - O. stii ca ABCD este un patrat, diagonalele se injumatatesc, deci O este mijlocul lui [AC]. stii si ca M este mijlocul lui [VB], deci [MO] este linie mijlocie in triunghiul VDB. de aici rezulta ca MO=VD/2 si MO||VD (pun 2 asteia ca o folosim si la c)). daca MAC este triunghi isoscel de baza AC iar O e mijlocul [AC], rezulta ca O este si piciorul perpendicularei din M pe AC. exact, MO este inaltime pe AC. asa calculezi aria lui MAC: latura*inaltime supra 2. ca sa fiu mai exact, ArieMAC=MO*AC/2. stii ca MO=VD/2=10/2=5cm. AC este diagonala in patrat => AC=12√2. ArieMAC=5*12√2/2=60√2/2=30√2 cm².

c) la subpunctul anterior am evidentiat o relatie dedusa din proprietatea liniei mijlocii, MO||VD. daca O=mij[AC] => O∈[AC], AC fiind inclusa in planul (MAC) => MO⊂(MAC). acestea fiind spuse, daca VD||MO iar MO⊂(MAC) => VD||(MAC)