Question

Salut !
Mă poate ajuta cnv ?

Answer 1

a)                                       $a_n=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{n}}{ln (n)}$

Utilizam criteriul Stolz-Cezaro:

Notam

                                $x_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \\y_n=ln(n)$

Calculam acum limita sirului cu ajutorul criteriului Stolz.

$\begin{aligned}& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} . \\& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}{ln(n)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}-\ldots-\frac{1}{n}}{ln(n+1)-ln(n)} \Rightarrow \\\end{aligned}$$& \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}{ln (\frac{n+1}{n})}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{ln(1+\frac{1}{n})} \Rightarrow \\& \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(n+1)ln(1+\frac{1}{n})}=1$

b)                                        

                                  $a_n=\frac{1+4^2+4^3+\cdots+4^n}{n}$

Utilizam criteriul Stolz-Cezaro:

Notam

                                   $x_n=1+4^2+4^3+\cdots+4^n\\y^n=n$

$\begin{aligned}& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} . \\& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+4^2+4^3+\cdots+4^n+4^{n+1}-1-4^2-\cdots 4^n}{n+1-n}\\=&\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4^{n+1}}{1}=\infty\\\\\end{aligned}$