Question

Salut !!
Mă poate ajuta cnv ?

Answer 1

a)                                

                                           $a_n=\sqrt[n]{\frac{3^{3n(n!)^3}}{(3n)!}}$

Folosim criteriul radicalului, deci vom avea:

                             $a_n=\sqrt[n]{\frac{3^{3n(n!)^3}}{(3n)!}}\\\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{3^{3(n+1)}(n+1)!^3}{[3(n+1)]!}}{\frac{3^{3n(n!)^3}}{(3n)!}}$

                             $\Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{3^{3n}3^3n!^3(n+1)^3}{3n!(3n+1)(3n+2)(3n+3)}\frac{3n!}{3^{3n}n!^3}$

                             $\Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{27(n+1)^3}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}=\frac{27}{27}=1$

b)        

                         $a_n=\sqrt[n]{\frac{(3+1)(3+2)....(3+n)}{n!}}$

                      $\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(3+1)(3+2)....(3+n)(3+n+1)}{(n+1)!}}{\frac{(3+1)(3+2)....(3+n)}{n!}}$    

                     $\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{(3+1)(3+2)...(3+n)(3+n+1)}{(n+1)!}\frac{n!}{(3+1)(3+2)...(3+n)}$

                      $\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{4+n}{n+1}=1$

Se poate  vedea ca se simplica parantezele.

Nu uita ca (n+1)!=n!(n+1) cea ce inseamna ca si el se simplifica (doar n!).