Question

Salut! Mă puteți ajuta? Arătați că triunghiul ABC, în care (1+tgB)×(1+tgC)=2 este obtuzunghic.

Answer 1

$(1+tgB)(1+tgC)=(1+\frac{sinB}{cosB})(1+\frac{sinC}{cosC})=1+\frac{sinB}{cosB}+\frac{sinC}{cosC}+\frac{sinB*sinC}{cosB*cosC}=2\Rightarrow \frac{sinB*cosC+cosB*sinC+sinB*sinC}{cosB*cosC}=1\Rightarrow sinB*cosC+cosB*sinC+sinB*sinC=cosB*cosC\Rightarrow sinB*cosC+cosB*sinC=cosB*cosC-sinB*sinC\Rightarrow sin(B+C)=cos(B+C)$
Stim ca suma tuturor unghiurilor dintr-un triunghi este 180 grade(pi)
$A+B+C=\pi\Rightarrow B+C=\pi-A$
Inlocuim in relatia de mai sus
$sin(\pi-A)=cos(\pi-A)$
Mai stim ca pentru unghiuri din intervalul [0,pi] avem urmatoarele relatii
$sin(\pi-A)=sinA$
$cos(\pi-A)=-cosA$
Inlocuim in conditia initiala
$sinA=-cosA$ ceea ce arata ca sin si cos au semne diferite pentru unghiul A, altfel nu au cum sa fie egale. in intervalul [0,pi/2] sau [0,90], sin si cos sunt ambele pozitive. In intervalul (90,180] cos are valori negative, sin are valori pozitive. Deci A este in acest inteval, deci A mai mare decat 90 de grade, triunghiul ABC este obtuzunghic.