Question

Salut! Ma puteți ajuta cu problema 14? Știu ca este cazul 1 la infinit, însă in paranteza nu reușesc deloc sa grupez termini sa ajung la ceva. Mulțumesc anticipat!

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Adunăm și scădem $x^{2}$ la numărător, apoi se distribuie numitorul

Avem $f(x)=\displaystyle\frac{x^2+2x+1-x^2}{x^2 (x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-x^2}{x^2(x+1)^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}$

Atunci

$f(1)+f(2)+\ldots +f(n)=\displaystyle\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}=\\=1-\frac{1}{(n+1)^2}$

Rezultă

$l= \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n^2}= \lim_{n \to \infty} \left[\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{-(n+1)^2}\right]^{-\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\\=e^{-1}=\frac{1}{e}$