Question

Salut, ma puteti ajuta la Partea B, problema numarul 2 b).Problema cu legi de compozitie ? Am tot incercat insa nu-mi iasa deloc bine..Ma puteti ajuta cu o rezolvare detaliata sa o pot intelege...?

Answer 1

Stim ca $(\mathbb{R},*)$ este un monoid, deci el admite un element neutru. Adica, exista $e\epsilon \mathbb{R}$ astfel incat pentru orice $x \epsilon \mathbb{R}$ sa avem $x*e=e*x=x$. Putem observa cu usurinta faptul ca legea este comutativa, deci este suficient sa folosim doar una din compuneri. Fie $x \epsilon \mathbb{R}$. Avem:
$x*e=x$
$xe+ax+ae+b=x$
$(a+e)x + ae+b=x$
Identificand coeficientii, obtinem relatiile:
$\left \{ {{a+e=1} \atop {ae+b=0}} \right.$
Din prima avem ca $e=1-a$ si inlocuind in cea de-a doua obtinem:
$a(1-a)+b=0$
$b=a^2-a$
Am obtinut o relatie intre a si b. Ca o mica observatie, folosindu-ne de asociativitatea legii ajungeam la acelasi rezultat. Acum, din conditiile impuse de problema, stim ca $a,b \epsilon \{-2,-1,0,1,2\}$.
Pentru a=-2 obtinem b=6, caz care nu convine deoarece nu apartine multimii.
Pentru a=-1 obtinem b=2.
Pentru a=0 obtinem b=0.
Pentru a=1 obtinem b=0.
Pentru a=2 obtinem b=2.
Asadar, avem solutiile $(a,b)\epsilon \{(-1,2),(0,0),(1,0),(2,2)\}$. Pentru aceste valori legea va fi asociativa si va admite element neutru, deci $(\mathbb{R},*)$ va fi un monoid.

Answer 2

problema 2, nu am cum sa o fac mai bine (incaz ca as fi putut sa o fac...  prin rationament si nu doar prin calcul)
dar pt ca  ai rugat problema 3 , iata-o aici!
Problema 3de la partea 2
trasezi graficele
observi punctele de intersectie
 iei intotdeauna functia care are valoarea mai mica (mai 'jos" pe axa Oy)
vezi fila 1

Integrala o faci pe portiuni, tinand contde expresiile diferite ale functiilor; vezi fila 2


probleam 3 de la partea I, este ,conform formulei

2³=8