Question

Salut, ma puteti ajuta la subiectul 3, problema 1, am facut derivata, insa nu stiu cum sa demonstrez chestia aia...

Answer 1

Mai intai, poti observa ca derivata este pozitiva pentru x pozitiv, deci functia f este crescatoare. Putem sa ne folosim de asta pentru prima parte a inegalitatii.
Fie $x \geq 4$. Atunci $f(x)\geq f(4)=4$, deci am rezolvat cu prima. Pentru a doua, sa ne uitam la functia:
$\frac{f(x)}{x}=\frac{2}{\ln5}\frac{\ln(1+x)}{x}+\frac{1}{\sqrt x}$
Hai sa observam in primul rand ca ambele functii care apar in suma asta sunt descrescatoare (se poate arata foarte usor), deci, vom avea:
$\frac{\ln(1+x)}{x}\leq \frac{\ln(1+4)}{4}=\frac{\ln(5)}{4}$
si
$\frac{1}{\sqrt x}\leq \frac{1}{\sqrt 4}=\frac{1}{2}$
Deci vom avea:
$\frac{f(x)}{x}\leq \frac{2}{\ln5} \frac{\ln5}{4} + \frac{1}{2}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1$
adica:
$f(x)\leq x$
Astfel, am aratat ca pentru orice $x\geq 4$ este valabila inegalitatea $4 \leq f(x) \leq x$.