Question

Salut,

scrieti o formula pentru suma data venind cu exemple cu ati ajuns la aceasta formula;
Formula este data,insa intrebarea este cum sa ajungi la aceasta formula?

1²+2²+...+n²= n(n+1)(2n+1)/6.

Answer 1

Salut,

Notează cu S suma din membrul stâng.

Calculeaază (x + 1)³ -- x³ = 3x² + 3x + 1.

Apoi dai valori lui x de la 1, 2, 3, ..., până la n, deci obții n relații, vezi mai jos:

(1 + 1)³ -- 1³ = 3·1² + 3·1 + 1

(2 + 1)³ -- 2³ = 3·2² + 3·2 + 1

(3 + 1)³ -- 3³ = 3·3² + 3·3 + 1

...

(n + 1)³ -- n³ = 3·n² + 3·n + 1

Aduni aceste n relații membru cu membru, în membrul stâng se vor reduce toate, în afară de (n + 1)³ -- 1³.

(n + 1)³ -- 1³ = 3·(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3·(1 + 2 + 3 + ... + n) + n, sau

n³ + 3n² + 3n = 3S + 3·n·(n + 1)/2 + n (acel "n" de la final este rezultatul adunării 1 de "n" ori).

Am folosit formula lui Gauss, adică:

1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n + 1)/2.

Din relația de mai sus, obții exact membrul drept din enunț.

Ai înțeles ?

Green eyes.