Question

Salutare! Am mai postat o dată limita de mai jos, însă am văzut că am pus cam puține puncte la ea, așa ca am repostat-o. Răspunsul trebuie să fie c). Spor!

Answer 1

$cos(x)=1-2sin^2(\frac{x}{2})$

Inlocuim in limita:

$\lim_{x \to 0} \frac{1-(1-2sin^2(\frac{x}{2}))}{x(\sqrt{1+x}-1)}=\lim_{x\to 0} \frac{2sin^2(\frac{x}{2})}{x(\sqrt{1+x}-1)}$

Dar cunoastem limita:
$\lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=1$

Astfel ca putem inmulti si imparti limita noastra cu $(\frac{x}{2})^2$ pentru a obtine:

$\lim_{x\to 0} \frac{2sin^2(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})^2x(\sqrt{1+x}-1)}\times(\frac{x}{2})^2=\lim_{x\to0} (\frac{sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2\times \frac{2x^2}{4x(\sqrt{1+x}-1)}=$

$= 1^2\times \lim_{x\to0} \frac{x}{2(\sqrt{1+x}-1)}=\lim_{x\to0} \frac{x}{2(\sqrt{1+x}-1)}$

Acum putem inmulti si imparti cu conjugatul parantezei de la numitor si vom obtine:

$\lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{2(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{2(\sqrt{1+x}^2-1^2)}=\lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{2(1+x-1)}=$

$=\lim_{x\to0}\frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{2x}=\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}+1}{2}=\frac{2}{2}=1$