Question

Salutare. Am și eu nevoie de ajutor la aceasta problema (nivel ridicat)

$|x + 1| + |x + 2| + ... |x + 2019| = {x}^{2} + 2019x - 2020$
Mulțumesc ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Notam membrul stang cu S, pe cel drept cu D

S > 0, adica un nr.pozitv, se impune ca D > 0

D = x^2 +2020x -x -2020 = (x+2020)(x-1)

Radacinile lui D : x1= -2020, x2 = 1

Intre rad. semn diferit de a=1 > 0

Deci D> 0 daca x < -2020,  sau daca  x > 1.

Daca x > 1 :

|x+1| = x+1, |x+2| = x+2, ...

S = x+1 + x+2 + x+3 + ...+x +2019

S = 2019x + 2019*2020/2 = 2019x + 2019*1010

2019x + 2019*1010 = x^2 +2019x -2020

x^2 -2019*1010 -2020 = x^2 - 2041210 =0

x^2 = 2041210,  x = √2041210

Daca x < -2020 :

notam x = -t  , cu t > 0

|-t +1| = -(-t +1),  |-t +2| = -(-t +2), ...

S = -(-t +1) -(-t +2) -(-t +3) -...-(-t +2019) =

t-1 + t-2 +t-3 +...+t-2019 =2019t - 2019*1010

2019t - 2019*1010 = t^2 -2019t -2020

t^2 -2*2019t +2019*1010- 2020 =0

t^2 -4038t -2037710 =0

Daca facem calculele rezulta doua rad. in

afara interv.(-inf, -2020)

Singura rad. este      x = √2041210