Question

Salutare. Ma poate ajuta cineva va rog?

f: R -> R, f(x) = (x^2 - 8)/(e^x)

Dem ca: f(x) > -32, oricare ar fi x ap. R

Answer 1

Răspuns:

Calculăm derivata

$f'(x)=\dfrac{2xe^x-e^x(x^2-8)}{e^{2x}}=\dfrac{-x^2+2x+8}{e^x}$

$f'(x)=0\Rightarrow x_1=-2, \ x_2=4$

$f'(x) < 0, \ \forall x\in(-\infty,-2)\cup(4,\infty)\\f'(x) > 0, \ \forall x\in(-2,4)$

Rezultă că $x=-2$ este punct de minim local, iar $x=4$ este punct de maxim local.

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty, \ \lim_{x\to\infty}f(x)=0$

Rezultă că $x=-2$ este chiar punct de minim global. Deci

$f(x)\ge f(-2)\Rightarrow f(x) \ge -\dfrac{4}{e^{-2}}=-4e^2$

Dar $-4e^2 > -32\Leftrightarrow e^2 < 8$, ceea ce este adevărat.

Deci $f(x) > -32, \ \forall x\in\mathbb{R}$

Explicație pas cu pas: