Question

Scriind toate numerele naturale impare in ordine crescatoare,fara sa le separam,sa se determine a 2015-a cifra scrisa.

Answer 1

Scriem numerele impare pe grupe de cate 1 cifra, de 2 cifre, de 3 cifre, de 4 cifre si numaram cate cifre sunt folosite in fiecare grupa:

1 3 5 7 9     
sunt 5 numere de 1 cifra, deci 5 cifre folosite

11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
...................
91 93 95 97 99
sunt 5 (coloane)*9 (randuri), deci 45 numere de cate 2 cifre, adica 90 cifre folosite

101 103 105 107 109
111  113 115 117 119
121 123 125 127 129
.......................
991 993 995 997 999
sunt (99-9)*5=90*5=450 numere de cate 3 cifre, adica 1350 cifre folosite

1001  1003  1005  1007  1009
1011  1013  1015  1017  1019
1021  1023  1025  1027  1029
.......................................
9991  9993  9995  9997  9999
sunt (999-99)*5=900*5=4500 numere de cate 4 cifre, deci oricum se depasesc deja cele 2015 cifre cerute.

Sa vedem unde oprim numararea (adunam cifrele de la numerele de 1, de 2, de 3 cifre, iar la cele de 4 vedem unde ne oprim):

5+90+1350=1445 cifre folosite pana se epuizeaza numerele impare cu 3 cifre. Mai raman:
2015-1445=570 cifre pentru numerele impare cu 4 cifre
570=4*142+2, deci sunt 142 numere impare de 4 cifre si inca 2 cifre din al 143-lea numar impar.

Vedem ca dupa 999 (adica ultimul nr impar cu 3 cf) se adauga multipli de 2 care numara la al catelea numar cu 4 cifre ajungem:
1001=999+2*1
1003=999+2*2
1005=999+2*3
...............
1283=999+2*142 este ultimul numar impar de 4 cifre scris integral, dupa care mai urmeaza cele 2 cifre pana la cele 2015 folosite, care sunt de fapt primele 2 cifre ale urmatorului nr impar: adica 1285.

Deci a 2015-a cifra scrisa este 2.