Question

Se considera 2013 numere naturale divizibile cu trei . Aratati ca suma patratelor lor este divizibila cu 2013.

Answer 1

Un numar nedivizibil cu 3 este un numar de forma 3k+1 sau 3k+2
Ridicand fiecare dintre aceste numere la patrat observam ca obtinem un numar de foma
M₃+1 
(3k+1)²=9k²+6k+1 ∈ M₃+1
(3k+2)²=9k²+12k+3+1∈ M₃+1
Suma patratelor a 2013 astfel de numere este un numar din multimea 
M₃+2013 (adunam 2013 multipli de 3 si 2013 de 1)
Numarul obtinut nu este in mod necesar divizibil cu 2013. Insa cu siguranta obtinem un numar divizibil cu 3. deoarece 2013 este divizibil cu 3.
Din punctul meu de vedere enuntul este gresit: suma patratelor trebuie sa fie divizibila cu 3, nu cu 2013.
Ca sa te convingi, iata si un contraexemplu:
Consideram de 2012 ori numarul 1 care nu este divizibil cu 3 si numarul 5 care de asemenea nu e divizibil cu 3.
Adunam patratele numerelor considerate:
1²+1²+...+1²+5²=2012+25=2037, care este intr-adevar un numar divizibil cu 3 dar nu si cu 2013.