Question

Se consideră 5 numere naturale nenule astfel încât primele trei sunt direct proporționale cu 4,5,6, iar ultimele trei sunt invers proporționale cu 4,5,6.
a) Aflați cele mai mici numer naturale care satisfac condițiile impuse.

b) Aflați cele cinci numere dacă suma lor este 357




Rezolvarea să fie strict de clasa a 6-a, cu explicații.

Answer 1

$\displaystyle Fie~a,b,c,d,e~numerele. \\ \\ Avem:~ \frac{a}{4}= \frac{b}{5}= \frac{c}{6} ~si~ 4c=5d=6e. \\ \\ Impartind ~a~doua~relatie~prin~24,~obtinem: \\ \\ \frac{c}{6}= \frac{5d}{24} = \frac{e}{4},~si~tinand~cont~de~prima~relatie,~avem: \\ \\ \frac{a}{4}= \frac{b}{5}= \frac{c}{6}= \frac{5d}{24}= \frac{e}{4}. ~Inmultind~aceasta~relatie~cu~120, \\ \\ obtinem: ~ \boxed{30a=24b=20c=25d=30e=k}.$

$\displaystyle k ~reprezinta~rezultatul~comun~al~acelor~numere,~iar \\ \\ pentru~ca~acesta~sa~fie~minim~(deoarece~cifrele~sunt~nenule), \\ \\ el ~trebuie~sa~fie~egal~cu~c.m.m.m.c~al~numerelor~30,~24,~20, \\ \\ 25,~30. \\ \\ ~ [30,24,20,25,30]=600. \\ \\ k=600 \Rightarrow a=20,~b=25,~c=30,~d=24,~e=20. \\ \\ Acestea~sunt~cele~mai~mici~numere~cu~proprietatea~din~enunt. \\ \\ Evident,~solutia~generala~este~de~forma~ \\ \\ (a,b,c,d,e)=(20t,~25t,~30t,~24t,~20t).$

$\displaystyle t \in N^*. \\ \\ Pentru~punctul~b)~avem: \\ \\ 20t+25t+30t+24t+20t=357 \Leftrightarrow 119t=357 \Rightarrow t=3. \\ \\ Solutia~pentru~punctul~b)~este: \\ \\ (a,b,c,d,e)=(60,75,90,72,90).$