Question

Se considera a, b € (1, +oo), a>0.
Demonstrati ca functia g(x):|R -> |R este injectiva, unde:
$g(x)=(\frac{a}{b})^x -\frac{1}{b^x}-1$


Rog explicatie pas cu pas si sa precizati proprietatile folosite. Multumesc!

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

caz 1  a>b

(a/b) >1 (a/b) ^x strict crescatoare

b>1, b^x strict crescatoare, 1/b^x strict descrescatoare , -1/b^x strict crescatoare

-1 constanta

o sumalgebrica de 2 functii strict crescatoare si una constanta este strict crescatoare, deci injectiva

caz 2 a=b

(1/b) ^x=1 , suma algebrica devine -1/b^x care am arata ca e strict crescatoare, deci injectiva

caz3, (a/b)<1, adica 1<a<b

(a^x-b^x)<0 si strict descrescatoare, diferenta creste in modul

b^x crescatoare

deci (a^x-b^x)/b^x strict descrescatoare

-1 constanta

deci suma algebrica a celor 2 functiiva fi strict descrescatoare, deci injectiva

am folosit monotinia functei exponentiale cu baza>1,