Question

Se considera A=x^2 + 7x +3 , unde x este număr natural nenul.
a) Verificati A>(x+2)^2
b) Verificati A <(x+4)^2
c) Determinati valorile naturale ale lui x pentru care numarul A este un numar natural patrat perfect

Answer 1

a)x²+7x+4>x²+4x+4
7x>4x
cum x∈N*, putem simplifica , iar sensul inegalitatii nu se schimba
 7>4 , adevarat

b)x²+7x+4<x²+8x+16
7x<8x+12
0<x+12,
x+12>0, adevarat ∀x∈N*

Conform punctelor a) si b), avem:
(x+2)²<x²+7x+3<(x+4)²
Atunci, daca x este natural,  singura valoare pt care ar putea fi patrat perfect ar fi (x+3)²
x²+6x+9=x²+7x+3
9-3=7x-6x
6=x
x=6

Verificare
6²+7*6+3=36+42+3=45+36=81 care  este patrat perfect
sau (x+3)²=(6+3)²=9²=81, adevarat
Deci x²+7x+3  ia o singura valoare numar natural patrat perfect, oricare ar fi x∈N, si anume pt x=6, cerinta

Answer 2

a. A=x²+7x+3
(x+2)²=x²+4x+4
Verficam daca
x²+7x+3-x²-4x-4>0 ⇔
3x-1>0 ⇔
3x>1 ⇔relatie adevarata pentru orice x numar natural nenul.
Asadar A>(x+2)² .
b. A=x²+7x+3
(x+4)²=x²+8x+16
Verificam daca
x²+8x+16-x²-7x-3>0 ⇔
x+13>0 ⇔relatie adevarata pentru orice x numar natural nenul.
Asadar A<(x+4)² .
c. A=x²+7x+3
Singura valoare posibila pe care o poate lua x astfel incat A sa fie patrat perfect este
x=6⇒6²+7·6+3=36+42+3=81⇔81=9²⇔patrat perfect⇒adevarat.
In concluzie x=6.