Question

Se considera ΔABC cu AB=AC si nu ∠BAC=90°.Fie D ∈ (BC) , astfel incat AD⊥BC . Bisectoarea ABC inersecteaza dreapta AD in I. Demostrati ca BA+AI=BC.


(cu desen va rog dau coroana)

Answer 1

Avem triunghiul ABC- dreptunghic isoscel, cu lungimile laturilor

de forma (b,  b,  b√2).

$\it AI=AD-ID=BD-ID=\dfrac{b\sqrt2}{2}-r=\dfrac{b\sqrt2-2r}{2}\ \ \ \ \ (1)$

Pentru un triunghi dreptunghic cu laturile a,  b,  c, avem :

$\it 2r=b+c-a$,

care transpus la cazul nostru va fi:

$\it 2r=b+b-b\sqrt2=2b-b\sqrt2\ \ \ \ \ \ (2)$

$\it (1),\ (2) \Rightarrow AI=\dfrac{b\sqrt2-2b+b\sqrt2}{2}=\dfrac{2b\sqrt2-2b}{2}=\dfrac{2(b\sqrt2-b)}{2}=b\sqrt2-b\\ \\ \\ Deci,\ \ AI=b\sqrt2-b |_{+b}\Rightarrow b+AI=b\sqrt2 \Rightarrow AB+AI=BC\ \ [q.\ e.\ d.]$

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: