Question

Se considera ⛛ ABC în care M este mijlocul laturi BC, punctul N este mijlocul mediane AM și P este un punct pe laterala AC astfel încât PC=2×PA. Să se demonstreze faptul ca B, N și P sunt coloniare.

Answer 1

Fie BN∩AC={Q}=/={P}
si d|| BC, A∈d
si d∩BN={R}

AN≡NM (ipoteza)
m∡(ANQ)=m∡(MNB) opuse la varf
m∡(NMB)=m∡(NAR) alterne interne
⇒(caz ULU)ΔANR≡ΔMNB⇒AR≡MB
dar MB=BC/2 (ipoteza)
⇒AR=BC/2

dar ΔAQR≈ΔQBC ( Teorema Fundamentala a Asemanarii, d|| BC,) constructie)
raport de asemanare=AR/BC=1/2=AQ/QC
deci Q imparte AC in raportul 1/2. Cum in interiorul unui segmement, exista un  punct si numai unul care imparte segmentul intr-un raport dat⇒Q≡P , punctul din cerinta
B,N,Q coliniare⇔B, N, P coliniare, cerinta