Question

se considera cubul abcda'b'c'd'. Un plan alfa paralel cu planul (bcc') intersecteaza muchiile AB, CD, C'D', A'B' în punctele E, F, G, H. Determknati valoarea raportului AE/EB,stiind ca DH/CH=(radical din 3)/2

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

Answer 2

 

Cubul ABCDA'B'C'D' a fost desenat foarte bine de moderatorul 102533.

In cub avem relatiile: DF = AE  si FC = EB

Rezulta ca raportul  AE/EB = DF/FC

Rezulta ca vom calcula raportul  DF/FC din triunghiul  HDC

Din acest cub am extras triunghiul HDC (vezi desenul in plan) in care avem:

HF este diagonala patratului EFGH.  

Patratul EFGH este congruent cu oricare fata a cubului.

Notatie:

m = muchia cubului.

HF = m√2

DH/CH =  (√3) / 2       ==>    DH = k√3  si CH = 2k    

In triunghiurile dreptunghice HFD si HFC aplicam pitagora:

DF^2 = HD^2 – HF^2     si              

DF^2 = (k√3)^2 – (m√2)^2              

DF^2 = 3k^2 – 2m^2

DF = √(3k^2 – 2m^2)

FC^2 = HC^2 – HF^2(m√2

)^2

FC^2 = (2k)^2 – (m√2

)^2

FC^2 = 4k^2 – 2m^2

FC = √(4k^2 – 2m^2)

⇒  DF/FC   =  √(3k^2 – 2m^2)  /  √(4k^2 – 2m^2)

DF/FC nu depinde de muchia cubului.

DF + FC = m

√(3k^2 – 2m^2) + √(4k^2 – 2m^2) = m     (DC = muchia cubului)

Ridicam la patrat

[√(3k^2 – 2m^2) + √(4k^2 – 2m^2)]^2 = m^2

(3k^2–2m^2)+(4k^2–2m^2)+2√(3k^2–2m^2)×√(4k^2 – 2m^2) = m^2

7k^2-4m^2+2√(3k^2–2m^2)×√(4k^2 – 2m^2) = m^2

2√(3k^2–2m^2)×√(4k^2 – 2m^2) = m^2 -(7k^2-4m^2)

2√(3k^2–2m^2)×√(4k^2 – 2m^2) = m^2 -7k^2+4m^2

2√(3k^2–2m^2)×√(4k^2 – 2m^2) = 5m^2 -7k^2

2√[(3k^2–2m^2)(4k^2 – 2m^2)]= 5m^2 -7k^2

2√[12k^4-8k^2m^2-6k^2m^2+4m^4]= 5m^2 -7k^2

2√[12k^4-14k^2m^2+4m^4]= 5m^2 -7k^2   (Ridicam la patrat.)

4(12k^4 - 14k^2m^2 + 4m^4) = 25m^4 - 35k^2m^2 + 49k^4

48k^4 - 56k^2m^2 + 16m^4 = 25m^4 - 35k^2m^2 + 49k^4

25m^4 - 16m^4 + 56k^2m^2 - 35k^2m^2 + 49k^4 - 48k^4

9m^4 + 21k^2m^2 + k^4 = 0

Deoarece DF/FC nu depinde de muchia cubului, vom considera ca muchia cubului este unitatea.

m = 1

9m^4 + 21k^2m^2 + k^4 = 0

9 + 21k^2 + k^4 = 0

k^4 + 21k^2 + 9 = 0

DF/FC   =  √(3k^2 – 2)  /  √(4k^2 – 2)

Din ecuatia:   k^4 + 21k^2 + 9 = 0   se obtine k^2  facand substitutia x=k^2 si se rezolva ecuatia de gradul 2, apoi se inlocuieste in raportul:

AE/EB = DF/FC   =  √(3k^2 – 2)  /  √(4k^2 – 2)