Question

Se considera dunctia f:(0,inf) ->R, f(x)= x^2-8lnx.
Demonstrati ca dc f(x)=0 are doua solutii reale distincte.

Answer 1

f:(0,∞)→R a.i. f(x)=x² -8lnx ,dar f(x)=0 <=> x² -8lnx=0 <=> x²=8lnx dar deoarece pentru orice x∈R =>x² >= 0 => 8lnx >= 0 <=> lnx >= 0 .

Daca lnx=0 => e⁰=x <=> x=1 => este solutie reala .

Daca lnx > 0 => x²=8lnx => 8/8 <=> 8/8lnx <=> 8/x² =>  dar deoarece e∈R\Q a.i. e≅2,71 sau 2 < e < 3 => singura varianta posibila este x=4 => 4²=8·2 <=> 16=16 => este solutie reala .

Asadar f(x)=0 are 2 solutii reale si distincte si anume {1;4} unde f:(0,∞)→R si f(x)=x² -8lnx .