Question

Se considera E (x) =x^3 +(x+1)^2+2 (x-3)(x+3)+17 . Unde x este numar real . Aratati ca numarul E (n) este multiplu de 6 pentru orice numar natural n .

Answer 1

Răspuns:

un produs de 3 numere naturale succesive este divizibil cu 6 (sigur exact 1 este divizibil cu 3 si 1 sau 2 sunt pare)

Explicație pas cu pas:

E(x)=x³+x²+2x+1+2(x²-9)+17=

=x³+x²+2x+1+2x²-18+17=0

=x³+3x²+2x=

x(x²+3x+2)=

x(x²+x+2x+2)=

=x(x(x+1)+2(x+1))=

=x(x+1)(x+2)

pt n∈N, avem

E(n) =n(n+1)(n+2) care este un numar natural, produs de 3 nr.NATURALE SUCCESIVE, deci este divizibil cu 6

pt ca

• din trei nr.naturale sucesive exact 1 sau exact 2 sunt pare, deci numarul E(n) e div cu 2

si

• exact unul este div cu 3 (numerele pot fi  sau3k, 3k+1, 3k+2, sau 3k+1, 3k+2, 3k+3 sau 3k+2, 3k+3, 3k+4 deci EXACT unul este div cu 3)

• cum numarul E(n)  este div cu 2 si 3, prime, deci prime intre ele, numarul E(n) este div cu 2*3=6