Question

Se considera E(x)=(x²+x+1)²-(x²+x)²-x² , unde x este numar real. aratati va E (n) este patrat perfect pentru orice numar natural n. va rogg multt

Answer 1

Faci calculul, folosind urmatoarele formule:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$E(x)=x^4+x^2+1+2x^3+2x+2x^2-(x^4+2x^3+x^2)-x^2 \\ E(x)=x^4+x^2+1+2x^3+2x+2x^2-x^4-2x^3-x^2-x^2$

Reduci termenii asemenea:
$E(x)=x^2+2x+1$

Daca inlocuim pe x cu n numar natural, obtinem:
$E(n)=n^2+2n+1$

Care poate fi restrans astfel:
$E(n)=(n+1)^2$

Si acest numar este patrat perfect.