Question

Se considera ecuatia 2x^2-2mx+m^2-2m=0 unde m apartine R, iar x1 și x2 sunt rădăcini reale ale ecuatiei. Suma patratelor radacinilor x1^2+x2^2 aparține intervalului?.Va rog rezolvare pas cu pas. Mulțumesc ​

Answer 1

Răspuns:

[0;8]

Explicație pas cu pas:

verificăm pentru ce valori ale lui m ecuaţia are soluţii reale. Condiţia este delta>=0.

4m²-8(m²-2m)≥0, ⇒16m-4m²≥0, 4m(4-m)≥0, ⇒m∈[0, 4].

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2 - 2x1x2.

Din relatiile lui Viete, avem x1+x2=(2m)/2=m, iar x1x2=(m^2-2m)/2. Atunci

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2 - 2x1x2=m^2 - 2·(m^2-2m)/2=m^2  - m^2 + 2m =2m.

Deoarece 0≤m≤4, ⇒0≤2m≤8, deci (x1^2+x2^2)∈[0;8].