Question

Se consideră ecuaţia mx² - 2x-m-1=0, m e R*.
a) Arătaţi că rădăcinile ecuației sunt numere reale şi distincte, pentru orice valoare a lui m.
b) Determinaţi valorile lui m, astfel încât rădăcinile ecuaţiei să aibă semne contrare.
c) există valori ale lui m astfel încât rădăcinile ecuaţiei să fie strict pozitive?​

Answer 1

a)

Pentru ca rădăcinile ecuației sa fie numere reale şi distincte, atunci Δ>0

a=m

b=-2

c=-m-1=-(m+1)

$\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=4+4m(m+1)\\\\\Delta=4+4m^2+4m\\\\\Delta=(2m+1)^2+3\\\\(2m+1)^2 \geq 0\\\\3 > 0\\\\\Delta=(2m+1)^2+3 > 0,\ pentru\ orice\ valoare\ a\ lui\ m$

b)

Pentru ca rădăcinile ecuaţiei să aibă semne contrare atunci P<0 si Δ>0

P=x₁x₂

$P=\frac{c}{a}=\frac{-(m+1)}{m}$

$\frac{-(m+1)}{m} < 0\\\\\frac{(m+1)}{m} > 0$

m        -2                 -1               0               +∞

m+1      - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + +

m       - - - - - - - - - - - - - -  - - -  0 + + + + + +

$\frac{(m+1)}{m}$       + + + + + + | - - - - - - 0 + + + + + +

m∈ (-2,-1)∪(0, +∞)

c)

Pentru ca rădăcinile ecuaţiei să fie strict pozitive P>0 S>0 si Δ>0

$P=\frac{c}{a} =-\frac{m+1}{m} \\\\-\frac{m+1}{m} > 0\\\frac{m+1}{m} < 0$

m        -2                 -1               0               +∞

m+1      - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + +

m       - - - - - - - - - - - - - -  - - -  0 + + + + + +

$\frac{(m+1)}{m}$       + + + + + + | - - - - - - 0 + + + + + +

m∈(-1,0)

S>0

$S=-\frac{b}{a} =\frac{2}{m} \\\\\frac{2}{m} > 0\\\\m\in(0,+\infty)$

Δ>0

m∈(-2,+∞)

Solutie finala: m=∅

Un alt exercitiu gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5882381

#SPJ1