Question

Se consideră ecuația x^2-2mx+m-1 = 0 , unde m este un număr real.
a) Demonstrați că ecuația are două soluții reale, oricare ar fi m∈IR
b) Demonstrați că ecuația are ambele soluții mai mari decât -1, oricare ar fi m ∈ (0,∞)

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:.....................................

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Calculam discriminantul.

$delta = {b}^{2} - 4ac$

Unde avem, din ecuatia noastra

a=1

b=-2m

c=m-1.

Prin urmare,

$delta = {( - 2m)}^{2} - 4 \times 1 \times (m - 1) = > \\ delta = 4 {m}^{2} - 4m + 4$

In functie de semnul lui delta, stim ce fel de solutii are ecuatia, in cazul in care are solutii. Stim ca daca delta>0 ecuatia are doua solutii reale distincte, daca delta=0 ecuatia are doua solutii reale egale (o radacina dubla) si daca delta<0 ecuatia nu are solutii reale.

Prin urmare, trebuie sa analizam semnul lui delta. Atasam o functie de gradul doi pentru delta,

$f(m) = 4 {m}^{2} - 4m + 4$

Calculam discriminantul pt aceasta functie.

$delta = {b}^{2} - 4ac$

Unde a=1,b=-4 si c=4

$delta = {( - 4)}^{2} - 4 \times 4 \times 4 = 16 - 64 = - 48 < 0$

Din teorie stim ca daca delta <0=> semnul functiei este dat de semnul lui a. In cazul nostru, a=1>0, deci f(m) >0, oricare m apartinand multimii numerelor reale. Prin urmare,

$delta = 4 {m}^{2} - 4m + 4 > 0 \: oricare \: m \: apartinand \: multimii \: numerelor \: reale$

Cu alte cuvinte, discriminantul ecuatiei din probleme e mai mare ca zero mereu, deci are doua solutii distincte, oricare ar fi valoarea lui m.

Pentru cerinta de la punctul b, ne folosim de relatiile lui Viete.

$s = - \frac{b}{a}$

$p = \frac{c}{a}$

Unde a=1, b=-2m, c=m-1.

Deci,

$s = - \frac{( - 2m)}{1} = 2m$

$p = \frac{m - 1}{1} = m - 1$

Stim ca suma solutiilor e 2m si produsul m-1. Daca m e mai mare ca 0, cum ne spune in ipoteza, inseamna ca produsul p>-1 si suma s>0.

De aici rezulta concluzia ca cele doua solutii sunt >-1.